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「数理物理」講義ノート

第九章：ストークスの定理とガウスの発散定理

ストークスの定理

ある力があり、その力の回転、

を満たすとき、 ストークスの定理より

が言える。ここで、は線積分の積分路である。物理では、 この力を保存力と呼び、

を満たす、位置エネルギーUが存在することを意味している。そして、仕事Wは、元に戻ってくる道筋の場合、０であり、そのことは、２点間をどのように進んだかに関係なく、位置エネルギーだけで運動エネルギーが決まることを表している｡具体的に、Uを与え、その力での仕事Wは、積分路によらないことを、数値的に調べてみよう。具体例として、

の力を考えてみよう。積分は（０，０，０）から（2，2，2）までとし、この簡単な場合として、直線で積分しよう。積分路の傾きは一定で、（１，１，１）であることから、線素ベクトルは

と書ける。パラメーターｔを導入すれば、

とできる。したがって、

この値は、U(2,2,2)-U(0,0,0)に一致する。

次に、積分路をもう少し複雑なものにしよう。パラメータｔにより、

だから、Wは、

と与えられる。

問題）次の様な、積分路の場合を精度よく計算せよ。

ガウスの発散定理

電場Eは、電位Vの勾配である。

また、その発散は、内在する電荷eρに等しい。

ガウスの発散定理の積分形は、

と表せる｡ここで、ｖは体積素、また、Sは面積素である。
実際に、この面積積分を計算してみよう。e=1の電荷を座標（１，２，３）において、１０×１０×１０の立方体を体積とする。（原点、（１０，０，０）、（１０，１０，１０）を含む)　６つの面があるが、まず(0,0,0)-(10,0,0)-(10,10,0)-(0,10,0)-(0,0,0)で囲まれる面をAと名づける。同様に、B,C,D,E,Fも以下のように決める。

(0,0,0),(10,0,0),(10,10,0),(0,0,6),(10,0,6),(10,10,6)で囲まれる直方体内の等電位面を示すと以下のようになる｡

電場のベクトルをみると、

と書けるから、

A面について、Eベクトルの（ｘ、ｙ）成分を、プロットすれば、

のようになり、ｚ成分は描けない。そこで、ｚ成分を（ｘ、ｙ）＝（１，１）の方向に倒して、その強度をプロットすれば、

このようになる。この場合、面積積分は、A面がその面ベクトルの方向が、（０，０、−１）であることから、

と計算できて、B,C,D,E,Fの面についても、同様に

計算する。これらを数値的に計算してみよう。

これを計算すれば、1.00040674となり、４桁の精度でe=1が求まったことになる｡

問題）高い精度で計算するには、どのように改善すればよいか？

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　H.Kamada

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Converted by Mathematica March 15, 2002