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「数理物理」講義ノート

第三章：ニュートン法による方程式の数値解

物理の問題には簡単に分けて、

といった数学的な技術が必要である。方程式が、多項式の場合であっても、５次方程式以上の一般解は、の根号と四則演算だけで、解析的に計算は出来ないことが証明されている。（ガロアの定理）まして、問題は、多次方程式ではない場合がほとんどである。
ここでは、具体的に、次の様な方程式を定量的に解いてみよう。[by mathematica]

図をみて分かるように、２つ根がある。これをニュートン法という方法によってｆ（ｘ）＝０の解を解いていこう。考え方は、関数f(x)が解の付近で単調になっていれば、最初に仮定した点（初期値：ｘ＝)での関数の接線を引き、そこでのｘ軸への接点を次のｘの値として求め、何度も収束するまで、繰り返す方法である。n回目のｘの値をとすると、（,f())の点での接線の方程式は、

と与えられ、ｙ＝０の解を次/の x すなわち、とする。フローチャートをみよ。

C言語で以上のことをプログラムすれば、以下のようになる。

mathematica で一回目をみれば、確かに

値を得ている。
問い）収束したｘ＝1.512135という解をえたが、もう一つのｘ＝0.619061の値を得るにはどうしたらよいか？

問題：ルジャンドル関数のゼロ点

次の漸化式で定義される多項式をルジャンドル関数（多項式）という。

ｎ次のルジャンドル関数は、ｎ次の多項式で、微分は次の式を満たす。

こんな漸化式もある。ｎが０でない偶数の関数で、そのゼロ点（０）をｘ＝０に近い解を求めよう。

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　H.Kamada

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Converted by Mathematica March 15, 2002