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「数理物理」講義ノート

第七章：固有値問題と量子力学

量子力学では、シュレディンガー方程式を扱う。１次元運動を考えると、２階の線形微分方程式を扱うことになる。

ここで、、m,　V,　Eそれにψは、それぞれ、プランク定数、質量、ポテンシャル、全エネルギー、波動関数と呼ばれるものでる。これは、既に前章で扱ったように、問題が解けて、この場合、ハミルトニアンという作用を

とまとめると、シュレディンガー方程式は

と書け、関数にある作用をしてそれが一定の値倍（E倍）の関数に戻る時、この方程式を「固有値方程式」と言う。また、Eを固有値と言う。

連成振動のモデル

量子力学の問題に入る前に、古典力学での典型的な固有値問題を扱ってみよう｡それは、連成振動を例にとれよう。例題では、２個の質点を扱っているが、実際は多くの部分（部品）から成る系（製品）を扱うので、多次元の問題になる。

例題：２つの質量ｍのおもりが、図のように３つのバネで繋がっている｡このときの運動を調べよ。

おもりのそれぞれについて、運動方程式を立てると、（ｃ、ｋはバネ定数）

これを、行列で表すと、

となる。ここで、次の固有値方程式を解くと、

となって、新しい座標X、Yを次の様の決めて、

これについて、運動方程式を書き直すと[mathematica]

すなわち、２つの独立した単振動の式になる。

＝と＝は、基準振動数（モード）と呼ばれる。これらを使って、

と求まる。但し、a, b, α, β は定数。
このように、固有値方程式は、連立線形方程式を一つ一つの方程式に分解してくれる。

問い）３個の質点、４つのバネの時を具体的に考えてみよ｡

井戸型ポテンシャルの波動関数

図のような井戸型ポテンシャルでの束縛状態の波動関数を求めてみよう。

xをｔとみなし、ψをｘとみなせば、波動方程式は、２階の微分方程式であるから、ニュートンの運動方程式とよく似ている。但し、量子力学では束縛状態のエネルギーは、離散的で任意のエネルギーについて求まらず、ポテンシャルによって決定される。この場合、大切なのは境界条件で、xの遠いところで、波動関数は０近づかないといけない。

具体的に、として求めてみよう。ψの微分をとφする。

ｘ＝−５辺りをψ＝0.001, φ=0.0001と仮定し、以下の漸化式を繰り返す｡

先ず、Eを適当に代入して実行してみよう。プログラム例として、

このようなものが、書けるだろう。これを実行し、Eの値として−１．４７を入力すると、

また、E=−１．４６を入れると、

となり、ｘ＞５の計算をすると、正あるいは負に発散する。これを、０に抑えるEが、求めたい基底状態のエネルギー固有値になる｡

問題）Eを決定するアルゴリズムを考えよ。また、励起状態も求めよ｡

問題）波動関数をプロットしてみよ｡

次に、２階の微分を「直接」考えてみよう。

と計算できる。今、

と離散化すると、２階の微分はマトリックスで書けて、

ポテンシャルやエネルギーEは、スカラーだから、

行列式の計算

行列式は連立１次方程式の階の存在と関連している。逆マトリックスを求める方法には、LU分解や、QR分解、修正コレスキー分解など多くの方法がある。ここでは、それについては触れないでおこう。
上で求めたい行列式は、都合のよいことに三重対角行列と呼ばれている｡（ハウスホルダー変換という相似変換を行なうと、すべての行列はこの形になる。）

の行列式を導入すると、(7-23)と比較して、

とすることができる。ところで、（７−２４）は、次の漸化式をみたす。

とすれば、ｋ＝２以上が、(７−２７)式から順々にもとまる｡したがって、（７−２６）式が十分ｋが大きなところで、０になるλの値を探せばよい。FORTRANで３桁固有値を求めるプログラムを以下のように示す｡

プログラム中、abs(pk)でpk1,pk2を割っているのは、行列式が発散するのを抑えている｡

問題）次の様な現実的な形のポテンシャルで計算してみよ｡

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　H.Kamada

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Converted by Mathematica      March 15, 2002