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「数理物理」講義ノート

第六章：運動方程式の解析解と数値解

ニュ−トンの運動方程式は、２階の微分方程式である。質量ｍの物体にかかる力Fは、一般に位置や速度や時間に依存する。

物理の教科書では、それぞれの現象を独立に扱っている。しかし、現実ではさらに複雑で、多くの力が絡んでくる。例えば、上の全ての力が働く系を考えることもできる。運動方程式は、

と書けるが、解析的解は期待できそうもない。数値的な解法が威力を発揮する。すなわち、速度ｖは、１階の微分であるから、ｖ＝とおくことによって、２階の微分方程式は連立の１階微分方程式になる。

問い）３階の微分方程式はどうか？

従って、Δｔ後のｘ(t＋Δｔ）とｖ（ｔ＋Δｔ）の値は、次の様な漸化式で与えられる。

具体的に運動を調べてみよう。

は減衰振動で、m=-a=k=1とした。特性方程式は、だから、根はX=となる。よって、解析解は、t=0でx(0)=1,v(0)=−0.5を初期値にすれば、

になる。グラフに書く。[mathematica]

プログラムは、以下のように書ける

解析的に解けそうもない場合として、

これは、プログラム上で、

と書き換えるだけで計算される。速度の２乗に比例する力のない場合(右）と比べると、

となっている。よく観察すると、時間がたっても、抵抗力が更に増えた系なのに振幅が小さくならない。
これは、問題の間違いで、抵抗力はつねに速度の方向に反対に働くべきであることに気づくであろう。方程式は、

となる。プログラムの書き換えは、簡単で、

とすればよい。結果は、確かに、

より早く減衰しているようである｡

問題：もっと複雑な系ではどうか？

という力学系ではどうか？

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　H.Kamada

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Converted by Mathematica March 15, 2002