「数理物理」講義ノート

第八章：偏微分方程式の解法

今までは、常微分方程式等、１変数のものを扱ってきた。電磁気学に現れる、ラプラスの方程式は、電位をVとして、

と書ける。前章で見てきたように、２階の微分は、差分を計算すれば、

となる。いま、Δｘ＝Δｙ＝Δｚを仮定すると、（８−１）、（８−２）から、直ちに

となり、最隣接点の平均が、V（ｘ、ｙ、ｚ）の値になる。簡単化のために、２変数ｘ、ｙの２次元の場合を考えていこう。この場合は、（８−４）は、

となる。したがって、２次元空間で、境界のVが与えられれば、（８−５）を繰り返して計算していけば、収束するだろう。図のような形ABCDEFをした図形の電位を計算していこう。Bの点を原点にすると、それぞれの頂点の座標は、

となる。ABCDEFの辺には、予め電位が与えられている。例えば、

プログラムの例は、以下のようになる。

結果をgnuplotでプロットすればこのように描ける。(Animation)

問題）C言語で、以上のプログラムを作成せよ。

偏微分方程式は、一般に解くのが難しい。上述したラプラスの方法は、特にやさしい。実際は、必ずしも等間隔に点を取れるとは限らない。その場合、（８−４）式は使えなくなる｡有力な方法に、有限要素法（FEM）や境界要素法というものがある。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　H.Kamada

Converted by Mathematica March 15, 2002