%------------------------------------------------
\documentstyle[a4j,12pt]{jarticle}
%-----------------------------------
% ���ȏ��A�����������TeX�t�@�C���̗�
%---definitions-------------
%--�����֌W
%------------------------------------
\renewcommand{\theequation}
{{\rm \thesection.\arabic{equation}}}
%--------------------------------------
%---�����ɂ����鑾��---.
\newcommand{\bm}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}}
%----------------------
%--�����錾�̈�
\def\be{\begin{equation}}
\def\ee{\end{equation}}
%--
\def\bea{\begin{eqnarray}}
\def\eea{\end{eqnarray}}
%------------------------------
% ��ʓI�L���̒Z�k�`
%  (1)�M���V������------------------
\def\aa{\alpha}
\def\bb{\beta}
\def\cc{\gamma}
\def\dd{\delta}
\def\eps{\varepsilon}
\def\eps0{\varepsilon_0}
\def\om{\omega}
% (2)�P��
% ����
\def\m{\rm m}
\def\cm{\rm cm}
\def\mm{\rm mm}
% ����
\def\s{\rm s}
\def\h{\rm h}
% ����
\def\kg{\rm kg}
\def\g{\rm g}
%------------���w�֐��L��
%--------------------------------------------------
%-�@�@�@�����萔-------------------------------
%-���Ւ萔--
%�@�^�󒆂̌����x�i�����l�j�@�@c=2.99792458\times 10^8 {\rm m/s}�@
%�@�^�󒆂̌����x�i�ߎ��l�j�@�@c\cong 3.0\times 10^8 {\rm m/s}
%�@�d�͒萔
%  �@G=6.67259\times 10^{-11}{\rm N}\cdot \m^2/\kg^2
%	�n������
%    M_E = 5.974\times 10^{24}\kg
%  �n�����a
%   R_E = 6.37\times 10^6 {\rm m}
%���׍\���萔
%�@�@�����ݒ萔�iBoltzmann constant�j
%  �@k_B = 1.380\times 10^{-23}{\rm J/deg} 
%��޶���ې��iAvogadro number�j
%    N_A = 6.025\times 10^{23}{\rm /mol}
%���ݸ�萔 
%   h=6.6260755\times 10^{-34}{\rm J \cdot s}  
%���ݸ�萔 
%   \hbar\equiv\frac{h}{2\pi}=1.05457266\times10^{-34}{\rm J\cdot s}
%
% �d���C�w--
%  �^��̗U�d���i�����l�j$\eps0$
%�@�@�@\eps0 =8.8541878\times 10^{-12}{\rm Farad/m}
%  �^��̗U�d���i�ߎ��l�j$\eps0$
%�@�@�@\frac{1}{4\pi \eps0}\cong 9.0\times 10^9{\rm N\cdot m^2/coul^2}
%  �^��̓������i�����l�j$\mu_0$
%�@�@�@\mu_0 = 1.256637\times 10^{-6}{\rm N/Amp}^2}
% �G�l���M�[�Ǝ���---
\def\eVapprox{1{\rm eV}\cong1.60\times 10^{-19}{\rm J}}
\def\eVexact{1{\rm eV}=1.60217733\times 10^{-19}{\rm J}}
\def\KeV{1{\rm KeV}\equiv 10^3{\rm eV}}
\def\MeV{1{\rm MeV}\equiv 10^6{\rm eV}=10^3{\rm KeV}}
%--Nuclear Physics
%----atomic mass unit--
\def\amu{1{\rm a.m.u.}\equiv 1.6605402\times 10^{-27}{\rm kg}
  =931.49432{\rm MeV}/c^2}
%--------------------------------------------------------
\begin{document}
%--------------
{\Large �����q�n�̗͊w}\\
\hspace{50mm}filename=manyparticlesystem051128b.tex
\\
\hspace{50mm}(*)��̕����͂���B
%--------------
\section{�����q�n�̗͂Ɖ^��������}
\setcounter{equation}{0}
%--------------
�R�ȏ��$n$���q����Ȃ鑽���q�n�̒���$i$�Ԗڂ̗��q�̎��ʂ�$m_{i}�A�����_�i���_�Ƃ���j�����$�ʒu�x�N�g����$\bm{r}_{i} \ (i=1,2,\cdots,n)$�Ƃ���B�ꗱ�q�n�̏ꍇ�ƈقȂ�A�����q�n�̒��̊e���q�ɂ́A�����͂́A�n�̊O������
������(\underline{�O�́Aexternal force})�����ł͂Ȃ��A�n���̑��̗��q���瓭���́A\underline{���́i�܂��͑��ݍ�p�Ainteraction)}������B
��ʂɁA$i$�Ԗڂ̗��q�ɓ����O�̓x�N�g����$\bm{F}^{(e)}_{i} \ (i=1,2,\cdots,n)$�Ƃ���B�܂��A$i$�Ԗڂ̗��q��$j $�Ԗ�($j\ne i$)�̗��q���瓭�����͂�$\bm{F}_{ij}$�Ƃ���ƁA$i$�Ԗڂ̗��q�̉^����������
%------------------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:eq-of-motion-n-body-system-1}
 m_{i}\frac{d^{2}\bm{r}_{i}}{dt^{2}}
  =\bm{F}^{(e)}_{i}+\sum_{j=1,j\ne i}^{n}\bm{F}_{ij}, \ (i=1,2,\cdots,n)
\end{eqnarray}
%------------------
�Ɨ^������B�����ŁA�L��$\sum_{j=1,j\ne i}^{n}$��$i$�ȊO��$1,2,\cdots,n$�ɂ��Ă̘a
%----------------
\begin{eqnarray}
\sum_{j=1,j\ne i}^{n} \equiv \sum_{j=1}^{i-1}+\sum_{j=i+1}^{n}
\end{eqnarray}
%-----------------
���Ӗ�����B

�����q�n�̂��ׂĂ̗��q�ɂ��Ẳ^����������ӁX�������
%------------------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:eq-of-motion-n-body-system-2}
\frac{d^{2}}{dt^{2}} (\sum_{i=1}^{n}m_{i} \bm{r}_{i} ) 
  =\sum_{i=1}^{n}\bm{F}^{(e)}_{i}
  +\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1,j\ne i}^{n}\bm{F}_{ij}
\end{eqnarray}
%------------------
�ƂȂ�B�����ŁA�j���[�g���̗͂Ɖ^���̑�O�@��(��p����p�̖@���j
%------------------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:action-antiaction-law}
\bm{F}_{ij}=-\bm{F}_{ji} \ (i,j=1,2,\cdots,n)
\end{eqnarray}
%------------------
���g����
%-------------------------
\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1,j\ne i}^{n}\bm{F}_{ij}
 &=&\hspace{3mm}
    (\bm{F}_{12}+\bm{F}_{13}+\cdots +\bm{F}_{1n})\nonumber\\
 &&  +(\bm{F}_{21}+\bm{F}_{23}+\cdots +\bm{F}_{2n})\nonumber\\ 
�@&& \cdots \cdots \cdots \nonumber\\
  &&  +(\bm{F}_{n1}+\bm{F}_{n2}+\cdots +\bm{F}_{n,n-1})\nonumber\\ 
&=& 0
\end{eqnarray}
%----------------------------
��������B���̌��ʂ��A���i\ref{eq:eq-of-motion-n-body-system-2}�j�̉E�ӑ�񍀂ɑ�������
%------------------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:eq-of-motion-n-body-system-3}
\frac{d^{2}}{dt^{2}} (\sum_{i=1}^{n}m_{i} \bm{r}_{i} ) 
  &=&\bm{F}^{(e)},\\
&&\bm{F}^{(e)} \equiv \sum_{i=1}^{n}\bm{F}^{(e)}_{i}
\end{eqnarray}
%------------------
�ƂȂ�A�����q�n�S�̂̈ړ��^�����Ȃ킿���i�ɂ͓��͂̌��ʂ͌���Ȃ����Ƃ��킩��B�����ŁA
$\bm{F}^{(e)}$�͑����q�n�ɓ����O�͂̍���(�O�̓x�N�g���̃x�N�g���a�j�ł���B\\
%--------------------
{\small (�����q�n�ɂ������p����p�̖@���̓K�p�̎d���ɂ��āA�����q�n�̒��̔C�ӂ̂Q���q�̂��ꂼ��ɓ������̘͂a�͕K����������t�����ł͂Ȃ����Ƃ𒍈ӂ���B�Ⴆ�΁A�R���q�n�̂P�Ԗڂɓ������̘͂a$(\bm{F}_{12}+\bm{F}_{13})$�́A�Q�Ԗڂɓ������̘͂a$(\bm{F}_{21}+\bm{F}_{23})$�Ƃ͓���t�����ɂȂ�Ȃ��B)
}
\vspace{5mm}
%-----------------------------------------------


������,���̂悤�ɒ�`����鑽���q�n�̑S�^���ʃx�N�g��$\bm{P}$
%-----------------------
\begin{eqnarray}
\bm{P} \equiv \sum_{i=1}^{n}\bm{p}_{i}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\bm{v}_{i}
\end{eqnarray}
%----------------------
�����i\ref{eq:eq-of-motion-n-body-system-3}�j�̍��ӂɑ������ƁA
%------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:eq-of-motion-manybody-system-4}
\frac{d\bm{P}}{dt}=\bm{F}^{(e)}
\end{eqnarray}
%-------------------------
�Ə�����B���̎���
\underline{�����q�n�̑S�^���ʃx�N�g���̎��ԓI�ω����͊O�̓x�N�g���̘a�ɓ�}\\
\underline{�����Ȃ�Ƃ����֌W�����藧����}���Ӗ�����B

���ɁA�O�͂̃x�N�g���a�̂ǂꂩ��̐����ł��[���ł���΁A���Ƃ��O�͂̃x�N�g���a�̑��̐������[���łȂ��Ă��A�S�^���ʂ̑Ή����鐬���͎��ԓI�ɕۑ�����邱�Ƃ������B�Ⴆ�΁A�O�͂̃x�N�g���a��$x$�������[���ł���΁A�S�^���ʃx�N�g����$x$�����͕ۑ������B
%----------------------------
\begin{eqnarray}
F^{(e)}_{1x}+F^{(e)}_{2x}+\cdots+F^{(e)}_{nx}=0 \rightarrow
 (m_{1}v_{1x}+m_{2}v_{2x}+\cdots+m_{n}v_{nx}={\rm ���})
\end{eqnarray}
%---------------------------
�����\underline{�����q�n�ɂ�����^���ʕۑ���}���ؖ��ł������ƂɂȂ�B
%------------------------------------------
\section{�����q�n�̏d�S�^���Ƒ��Ή^��}
\setcounter{equation}{0}
%---------------------------------------
�����q�n�̑S���ʂ�
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:total-mass--many-body-system}
M &\equiv& \sum_{i=1}^{n}m_{i}=m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}
\end{eqnarray}
%------------------
�ƒ�`����B�����q�n�̏d�SG(center of gravity)�܂��͎��ʒ��S(center of mass)�̈ʒu�x�N�g��$\bm{R}$��
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:center-of-gravity-many-body-system-1}
\bm{R} &\equiv& \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i}\bm{r}_{i}}{\sum_{i=1}^{n}m_{i} }
 =\frac{m_{1}\bm{r}_{1}+m_{2}\bm{r}_{2}+\cdots+m_{n}\bm{r}_{n}}
       {m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}}
\end{eqnarray}
%------------------
�ƒ�`����B�d�S���W�x�N�g����$x,y,z$����$(X,Y,Z)$�ŕ\����
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:center-of-gravity-many-body-system-2}
\bm{R} &=&(X,Y,Z)\nonumber\\
&=& \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i}x_{i}}{M},
           \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i}y_{i}}{M},
           \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i}z_{i}}{M}
    \right)
\end{eqnarray}
%------------------
�ƂȂ�B�d�S�̑��x�x�N�g�������l��
%------------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:cm-velocity-1}
\bm{V}&\equiv& \frac{d{\bm R}}{dt}=\dot{\bm{R}},\\
\label{eq:cm-velocity-2}
\bm{V}&=&(V_{x},V_{y},V_{z})
 =(\frac{d{X}}{dt},\frac{d{Y}}{dt},\frac{d{Z}}{dt})
\end{eqnarray}
%--------------------------
�ƒ�`����B

���ɁA�d�S���瑪����$i$�Ԗڂ̗��q�̑��Έʒu�x�N�g��$\bm{r}'_{i}$�Ƒ��Α��x�x�N�g��$\bm{v}'_{i}$��
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:relative-coordinate}
\bm{r}'_{i} &\equiv& \bm{r}_{i}-\bm{R},\ (i=1,2,\cdots,n)\\
 \rightarrow \bm{r}_{i}&=& \bm{r}'_{i}+\bm{R},\\
\label{eq:relative-velocity}
\bm{v}'_{i}&\equiv& \frac{d{\bm r}'_{i}}{dt}=\dot{\bm{r}'_{i}},\\
 \rightarrow \bm{v}_{i}&=& \bm{v}'_{i}+\bm{V}
\end{eqnarray}
%------------------
�ƒ�`����B�d�S���W�x�N�g���ƑS���ʂ̒�`��p����ƁA�L�p�Ȋ֌W��
%---------------
\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^{n}m_{i}\bm{r}'_{i}&=&\sum_{i=1}^{n}m_{i}(\bm{r}_{i}-\bm{R})=
 \sum_{i=1}^{n}m_{i}\bm{r}_{i}-(\sum_{i=1}^{n}m_{i})\bm{R}=0\nonumber\\
\rightarrow 
\label{eq:sum-mass-relative-coord}
 \sum_{i=1}^{n}m_{i}\bm{r}'_{i}&=&0,\\
\label{eq:sum-mass-relative-velocity}
  \sum_{i=1}^{n}m_{i}\bm{v}'_{i}&=&0.
\end{eqnarray}
%----------------
��������B�֌W��(\ref{eq:sum-mass-relative-coord})
�͑����q�n($n$���q�n�j�̓Ɨ��ȍ��W�x�N�g���͖{��$n$�ł��邪�A�d�S���W�x�N�g���𓱓��������ʁA���Έʒu�x�N�g���̂��ׂĂ��Ɨ��ł͂Ȃ��Ȃ邱�Ƃ��Ӗ�����B
�Ⴆ�΁A$\bm{r}'_{n}=\sum_{i=1}^{n-1}m_{i}\bm{r}'_{i}/m_{n}$�ƂȂ�悤�ɁA�ǂꂩ�ЂƂ�$\bm{r}'_{i}$������$\bm{r}'_{j},\ (j=1,2,\cdots,n,j\ne i)$�����܂�B
���̎������ԂŔ�������Ǝ��i\ref{eq:sum-mass-relative-velocity}�j��������B

�����q�n�S�̂̈ړ��^�����Ȃ킿���i�̕�����
�i\ref{eq:eq-of-motion-n-body-system-3}�j
�ɏd�S�̈ʒu�x�N�g��
�i\ref{eq:center-of-gravity-many-body-system-1}�j
�Əd�S���x�x�N�g��
�i\ref{eq:cm-velocity-1}�j��������ƁA
%------------------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:eq-of-motion-n-body-system-5}
M\frac{d^{2}\bm{R}}{dt^{2}} 
  &=&\bm{F}^{(e)},\\
\rightarrow
M\frac{d{\bm V}}{dt}&=&\bm{F}^{(e)} 
\end{eqnarray}
%------------------
�Ə�����B
�����̊֌W������A�����q�n�̏d�S�^���ɂ��Ď��̂��Ƃ��킩��B
\begin{enumerate}
\item{(1)}
�e���q�̑��Έʒu�����Ƃ����ԓI�ɕω�����Ƃ��Ă��A�����q�n�̏d�S�͊O�̘͂a�ɂ���Ă��܂�^�����s�����ƁB����Ƃ��ẮA�C�e�܂��͉ԉ΂��j�􂵂����Ƃ̕����Əd�S�̊֌W�ȂǁB
\item{(2)}
�O�͂̃x�N�g���a�̂ǂꂩ��̐����ł��[���ł���΁A���Ƃ��O�͂̃x�N�g���a�̑��̐������[���łȂ��Ă��A�d�S�̑��x�x�N�g���̑Ή����鐬���͎��ԓI�ɕۑ�����邱�Ƃ��킩��B���Ȃ킿�A��l�ȉ^���i���������^���j�𑱂���B�Ⴆ�΁A�O�͂̃x�N�g���a��$x$�������[���ł���΁A
�d�S���x�x�N�g����$x$����$V_{x}$�͕ۑ������B����ɁA���߁A�d�S��$x$���W$X$���Î~���Ă����Ƃ���΁A���̌�̏d�S��$x$���W$X$�͕ۑ������B�e���q�̑��Έʒu�����Ƃ��ω�����Ƃ��Ă��A�d�S�̍��W�͏��߂̒l�Ɠ����ɂȂ�B
\end{enumerate}
%----------------------------
%------------------------------------------
\section{�����q�n�̎d���ƃG�l���M�[}
\setcounter{equation}{0}
%---------------------------------------
\subsection{�d���E�G�l���M�[�藝}
%----------------------------------------
�����q�n�ɂ�����$i$�Ԗڂ̗��q�̉^��������
�i\ref{eq:eq-of-motion-n-body-system-1}�j�̗��ӂ�
���x�x�N�g��$d{\bm r}_{i}/dt$�Ƃ̓��ς��Ƃ�A�S���q�ɂ��Ęa���Ƃ��
%---------------------------
%------------------------------------
\begin{eqnarray}
 \sum_{i=1}^{n}m_{i}\frac{d^{2}\bm{r}_{i}}{dt^{2}}
 \cdot\frac{d{\bm r}_{i}}{dt}
  =\sum_{i=1}^{n}\bm{F}^{(e)}_{i} \cdot\frac{d{\bm r}_{i}}{dt}
   +\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1,j\ne i}^{n}\bm{F}_{ij}\cdot\frac{d{\bm r}_{i}}{dt}.
\end{eqnarray}
%------------------
�����ŁA�E�ӂ̑�񍀂���p����p�̖@���i$\bm{F}_{ij}=-\bm{F}_{ji}$�j��p���ď����Ȃ�����
%------------------------------------
\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1,j\ne i}^{n}\bm{F}_{ij}\cdot\frac{d{\bm r}_{i}}{dt}
 &=& (\bm{F}_{12}+\bm{F}_{13}+\cdots )\cdot\frac{d{\bm r}_{1}}{dt}
+(\bm{F}_{21}+\bm{F}_{23}+\cdots )\cdot\frac{d{\bm r}_{2}}{dt}
   \nonumber\\
 &&+ (\bm{F}_{31}+\bm{F}_{32}+\cdots )\cdot\frac{d{\bm r}_{3}}{dt}+\cdots 
   \nonumber\\
&=& \bm{F}_{12}\cdot\frac{d(\bm{r}_{1}-\bm{r}_{2})}{dt}
  +\bm{F}_{13}\cdot\frac{d(\bm{r}_{1}-\bm{r}_{3})}{dt}+\cdots
   \nonumber\\
&=& \sum_{1=i<j}^{n}\bm{F}_{ij}\cdot\frac{d{\bm r}_{ij}}{dt}
\end{eqnarray}
%---------------
�ƂȂ�B������$i$�Ԗڂ̗��q��$j$�Ԗڂ̗��q�ɑ΂��鑊�Έʒu�x�N�g��
$\bm{r}_{ij}$�������Œ�`����B
%---------------
\begin{eqnarray}
\bm{r}_{ij}&\equiv & \bm{r}_{i}-\bm{r}_{j}
\end{eqnarray}
%------------------
�i�d�S����̑��Έʒu�x�N�g���Ƃ͈قȂ邱�Ƃɒ��ӂ���B�j�@����A���ӂ�
%--------------
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\left[ 
             \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}(\frac{d{\bm r}_{i}}{dt})^{2}
            \right]
\end{eqnarray}
%----------------
�Ə�����B���̎��̕ό`�ɂ����āA�C�ӂ̃x�N�g��$\bm{A}$�ɑ΂���L�@
$\bm{A}\cdot\bm{A}=\bm{A}^{2}$�ƁA�ϐ�$x$�̔C�ӂ̊֐�$f(x)$�̔����ɂ��ẮA$df^{2}(x)/dx=2f(x)\cdot df/dx$�Ƃ���������p�����B������[\ ]���͑����q�n�̑S�^���G�l���M�[$K$�ł���B

���ӂ�����$t_{1}$���玞��$t_{2}$�܂Őϕ������
%---------------
\begin{eqnarray}
  \label{eq:manypartile-work-energy}
K(t_{2})-K(t_{1})&=&\sum_{i=1}^{n}W_{i}^{(e)}(t_{2},t_{1})
  +\sum_{1=i<j}^{n}W_{ij}(t_{2},t_{1}),\\
 \label{eq:total-work-external-force}
&&W_{i}^{(e)}(t_{2},t_{1})\equiv \int_{t_{1}}^{t_{2}}\bm{F}^{(e)}_{i}
 \cdot\frac{d\bm{r}_{i}}{dt}dt
 =\int_{\bm{r}_{i}(t_{1})}^{\bm{r}_{i}(t_{2})}\bm{F}^{(e)}_{i}
 \cdot d\bm{r}_{i},\\
%--
  \label{eq:total-work-internal-force}
&&W_{ij}(t_{2},t_{1})\equiv 
 \int_{t_{1}}^{t_{2}}\bm{F}_{ij}
 \cdot\frac{d\bm{r}_{ij}}{dt}dt
 =\int_{\bm{r}_{ij}(t_{1})}^{\bm{r}_{ij}(t_{2})}\bm{F}_{ij}
 \cdot d\bm{r}_{ij}
\end{eqnarray}
%------------------
�ƂȂ�B�����ŁA$W_{i}^{(e)}(t_{2},t_{1})$��$i$�Ԗڂ̗��q�ɓ����O��$\bm{F}^{(e)}_{i}$������$t_{1}$����$t_{2}$�̊Ԃɂ����d���ŁA
���i\ref{eq:manypartile-work-energy}�j
�̉E�ӑ�1����\underline{�����q�n�ɊO�͂̂���S�d��}�ł���B

����A$W_{ij}(t_{2},t_{1})$��$i$�Ԗڂ̗��q��$j$�Ԗڂ̗��q�ɓ�������(���ݍ�p�j
$\bm{F}_{ij}$������$t_{1}$����$t_{2}$�̊Ԃɂ���d���ł���B
���i\ref{eq:manypartile-work-energy}�j
�̉E�ӑ�2����\underline{�����q�n�ɓ��͂�����S�d��}�ł���B���ǁA�ꗱ�q�̏ꍇ�Ɠ����悤�ɁA
���i \ref{eq:manypartile-work-energy}�j�͗͂̂���d���Ɖ^���G�l���M�[�ω����������Ƃ���\underline{�d���G�l���M�[�藝�̈�ʉ�}�ɂȂ��Ă���B

%-----------------
(���ӁF���͂̂���d��$W_{ij}$��$\bm{F}_{ij}$��$i$�Ԗڂ̗��q�ɂ���d����$\bm{F}_{ji}$��$j$�Ԗڂ̗��q�ɂ���d���̘a�ɂȂ��Ă��āA$W_{ji}$�Ƌ�ʂ��ꂸ
($W_{ij}=W_{ji}$)�A$ij$�̂P�΂ɂ��ĈӖ��������̂ł���B���������āA
���i  \ref{eq:manypartile-work-energy}
�j��2�d�a��$i<j$�Ƃ������������Ă���B���̘a�𐧌���������$\sum_{i\ne j}W_{ij}/2$�Ə������Ƃ��ł���B)

%-----------------------------------------------------------------------
%---------------------------------------------------------------
\subsection{���́i���ݍ�p�j�ɑ΂���|�e���V�����i���j}
%-------------------------------------------------------------------
���́i���ݍ�p�j$\bm{F}_{ij}$��2���q�Ԃ̑��Έʒu�x�N�g��$\bm{r}_{ij}$�����̊֐��ƂȂ�ꍇ���l����B�ꗱ�q�̏ꍇ�Ɠ��l�ɁA�����ŁA$i,j$�Ԗڂ̗��q�̂��ꂼ��̈ʒu�x�N�g���̕ω�
$(\bm{r}_{i}^{A}\rightarrow \bm{r}_{i}^{B},
\bm{r}_{j}^{A}\rightarrow \bm{r}_{j}^{B})$�Ƃ����̊Ԃ̑��Έʒu�x�N�g���̕ω�
$\bm{r}_{ij}^{\rm A}\rightarrow\bm{r}_{ij}^{\rm B}$(�}?�Q�Ɓj�ɑ΂��āA���̕ω��ɉ��������ϕ����A���̕ω��̓��؂ɂ��Ȃ��Ƃ��A���Ȃ킿�A�C�ӂ̕Ȑ��ɉ��������ϕ��̒l���[���ɂȂ�A
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:closed-integral-zero-interaction}
\oint\bm{F}_{ij}\cdot d\bm{r}_{ij}=0
\end{eqnarray}
%-------------------
�����藧�ꍇ���l����B���̂Ƃ��A���̐����������͂��A�����_(���̑��Έʒu�x�N�g��$\bm{r}_{0ij}$)����C�ӂ̓_�i���̑��Έʒu�x�N�g��$\bm{r}_{ij}$�j�܂ł̐��ϕ��ɂ���āA���͂ɑΉ�����|�e���V����
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:potential-interaction}
U_{ij}(\bm{r}_{ij})
=-\int_{\bm{r}_{0ij}}^{\bm{r}_{ij}}\bm{F}_{ij}(\bm{r}'_{ij})\cdot 
  d\bm{r}'_{ij}
\end{eqnarray}
%-------------------
���`����B

�����ŁA�ꗱ�q�n�̏ꍇ�Ɠ��l�ɂ��āA�ۑ��͂̐����������́i���ݍ�p�j�Ƃ��̃|�e���V�����Ƃ̊֌W
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:potential-interaction-relation}
\bm{F}_{ij}(\bm{r}_{ij})=
-{\rm grad}_{\bm{r}_{ij}}U_{ij}(\bm{r}_{ij})
\end{eqnarray}
%-------------------
��������B�����ŋL��${\rm grad}_{\bm{r}_{ij}}$�͑��Έʒu�x�N�g��$\bm{r}_{ij}$�ɂ���grad���Ƃ�Ƃ����Ӗ��ł���B
\underline{$U_{ij}(\bm{r}_{ij})$�͗��q$i,j$�Ԃ̓��͂̃|�e���V����}�ƌĂ΂��B

�����ŋL��${\rm grad}_{\bm{r}_{ij}}$�̖����I�ȕ\���𒲂ׂĂ����B�x�N�g��
$\bm{r}_{ij},\bm{r}_{i},\bm{r}_{j}$�̂��ꂼ��̍��W������
$(x_{ij},y_{ij},z_{ij}),(x_{i},y_{i},z_{i}),(x_{j},y_{j},z_{j})$�Ƃ����
%----------
\begin{eqnarray}
\label{eq:def-relative-coordinate}
x_{ij}=x_{i}-x_{j},y_{ij}=y_{i}-y_{j},z_{ij}=z_{i}-z_{j}
\end{eqnarray}
%----------------
�ł���B����ƋL��${\rm grad}_{\bm{r}_{ij}}$��
%-------------------------
\begin{eqnarray}
{\rm grad}_{\bm{r}_{ij}} \equiv 
  {\bm i}\frac{\partial}{\partial x_{ij}}
 +{\bm j}\frac{\partial}{\partial y_{ij}}
 +{\bm k}\frac{\partial}{\partial z_{ij}}
\end{eqnarray}
%---------------------------
���Ӗ����Ă���B�|�e���V�����֐�$U_{ij}$�͕ϐ�$(x_{ij},y_{ij},z_{ij})$�ł��邪�A$(x_{i},y_{i},z_{i},x_{j},y_{j},z_{j})$�̊֐��ł���ƌ��Ȃ��āA
$x_{i},y_{i},z_{i}$�ɂ��ĕΔ��������
�֌W���i\ref{eq:def-relative-coordinate}�j�ɒ��ӂ���
%---------------------
\begin{eqnarray}
\frac{\partial U_{ij}}{\partial x_{i}}
 &=& \frac{\partial U_{ij}}{\partial x_{ij}}
     \frac{\partial x_{ij}}{\partial x_{i}}
    + \frac{\partial U_{ij}}{\partial y_{ij}}
     \frac{\partial y_{ij}}{\partial x_{i}}
    + \frac{\partial U_{ij}}{\partial z_{ij}}
     \frac{\partial z_{ij}}{\partial x_{i}}
     =\frac{\partial U_{ij}}{\partial x_{ij}},\\
\frac{\partial U_{ij}}{\partial y_{i}}
 &=& \frac{\partial U_{ij}}{\partial x_{ij}}
     \frac{\partial x_{ij}}{\partial y_{i}}
    + \frac{\partial U_{ij}}{\partial y_{ij}}
     \frac{\partial y_{ij}}{\partial y_{i}}
    + \frac{\partial U_{ij}}{\partial z_{ij}}
     \frac{\partial z_{ij}}{\partial y_{i}}
     =\frac{\partial U_{ij}}{\partial y_{ij}},\\
\frac{\partial U_{ij}}{\partial z_{i}}
 &=& \frac{\partial U_{ij}}{\partial x_{ij}}
     \frac{\partial x_{ij}}{\partial z_{i}}
    + \frac{\partial U_{ij}}{\partial y_{ij}}
     \frac{\partial y_{ij}}{\partial z_{i}}
    + \frac{\partial U_{ij}}{\partial z_{ij}}
     \frac{\partial z_{ij}}{\partial z_{i}}
     =\frac{\partial U_{ij}}{\partial z_{ij}}         
\end{eqnarray}
%-------------
�������,$U_{ij}$��$(x_{i},y_{i},z_{i})$�ɂ��ĕΔ����������ʂƓ����ł��邱�Ƃ��킩��B���̌��ʂ�p�����


%---------------------
\begin{eqnarray}
{\rm grad}_{{\bm r}_{i}} U_{ij}
={\rm grad}_{{\bm r}_{ij}} U_{ij}
  =-{\bm F}_{ij}
\end{eqnarray}
%-------------------
�ƂȂ�B���l�ɁA$x_{j},y_{j},z_{j}$�ɂ��ĕΔ������Ƃ��
%---------------------
\begin{eqnarray}
{\rm grad}
_{{\bm r}_{j}}U_{ij}
=-{\rm grad}_{{\bm r}_{ij}}U_{ij}
  ={\bm F}_{ij}=-{\bm F}_{ji}
\end{eqnarray}
%-------------------
�𓾂�B���������āA���q$i$�ɓ������́A�O�͂��킸�A��ʂɂ����̃|�e���V�����֐���$\bm{r}_{i}$�ɂ��Ă�$-{\rm grad}$���Ƃ�΂悢�B�����ŁA���͂̑S�|�e���V������
%-------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:total-potential-internal-force}
U^{(\rm{in})}\equiv \sum_{1=i<j} U_{ij}
\end{eqnarray}
%--------------------
�ƒ�`����ƁA�ꗱ�q�ɓ����ۑ��͂Ƃ��̃|�e���V�����̊֌W�Ɠ����悤�ɁA$i$�Ԗڂ̗��q�ɓ�������(�ۑ��́j�͑Ή�����|�e���V�����ɂ����
%--------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:interaction-potential}
\sum_{j=1(\ne i)}^{n}\bm{F}_{ij} &=&-{\rm grad}_{\bm{r}_{i}} U^{(\rm{in})}
\end{eqnarray}
%--------------
�ƕ\�����B
%--------------------------------------------------
\subsubsection{���͂����S�͂̏ꍇ�̃|�e���V����}
%-------------------------------------------------
�����œ��͂����S�͂̏ꍇ�̃|�e���V���������߂�B
���S��$\bm{F}_{ij}(\bm{r}_{ij})$�͑��΋���$r_{ij}(\equiv |\bm{r}_{ij}|)$
�����̊֐�$f({r_{ij}})$�ɂ��
%---------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:interaction-central}
 \bm{F}_{ij}(\bm{r}_{ij})&=&f{r_{ij}} \ \frac{\bm{r}_{ij}}{r_{ij}}
\end{eqnarray}
%------------------------
�Ə�����B�֐�$f(r_{ij})$�̓X�J���[�ʂł���B���i\ref{eq:potential-interaction}�j�Ǝ��i\ref{eq:interaction-central}�j�ɂ��A
%------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:interaction-potential-2}
U_{ij}(\bm{r}_{ij})&=&-\int_{\bm{r}_{0ij}}^{\bm{r}_{ij}}
f(r'_{ij})\ \frac{\bm{r}'_{ij}\cdot d\bm{r}'_{ij}}{r'_{ij}}
\end{eqnarray}
%---------------------
�ł���B�������A��ʂ�
%-------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:dr-r-relation}
\frac{\bm{r}}{r}\cdot d{\bm{r}}=dr
\end{eqnarray}
%-------------------
�ł���B
{\small 
���̎��͎��̂悤�ɏؖ��ł���B�ȒP�̂��߂ɁA2�������ʏ�̉^�����l����B���鎞���ɂ�����ʒu�x�N�g��${\bm r}$�̕����̒P�ʃx�N�g����${\bm e}_{r}$�A�Ƃ��ꐂ���ȕ���(�p�x$\theta$�̑�����������j�̒P�ʃx�N�g��$\bm{e}_{\theta}$)�Ƃ���B����ƁA${\bm r}=r{\bm e}_{r}$�A${\bm e}_{r}\cdot {\bm e}_{\theta}=0$�ł���B�ψʃx�N�g��$d{\bm r}$��$d{\bm r}=dr{\bm e}_{r}+rd\theta{\bm e}_{\theta}$�ƕ\�����Ƃ��ł���B�����ŁA���̗��ӂƈʒu�x�N�g��${\bm r}$�Ƃ̓��ς��Ƃ�ƁA���i\ref{eq:dr-r-relation}�j��������B
}

���̌��ʂ�p����ƁA���S�͂ɑ΂���|�e���V�����̎��i\ref{eq:interaction-potential-2}�j��
%---------------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:interaction-potential-3}
U_{ij}({r}_{ij})&=&-\int_{{r}_{0ij}}^{{r}_{ij}}
f(r'_{ij})d{r}'_{ij}
\end{eqnarray}
%-------------
�ŗ^������B���̌��ʂ́A���S�͂͗��q�����a�i�܂��͓��a�j�ɐ����Ȍ����ɕψʂ��Ă��d�������Ȃ����߂ɁA���̃|�e���V�����͔��a�����Ō��܂邱�Ƃ��Ӗ����Ă���B���͂̃|�e���V�����̊�_$\bm{r}_{0ij}$�͂��΂���
�������_�i$r_{0ij}\rightarrow\infty$�j���̗p�����B
%------------------------------
\begin{enumerate}
\item ���L����(�d�́j�|�e���V����\\
����$m_{i},m_{j}$��2���q�Ԃɓ������L����(�d�́j�́A�d�͒萔��$G$�Ƃ���
%------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:gravitaion-force}
\bm{F}_{ij}&=&-G\frac{m_{i}m_{j}}{(r_{ij})^2}\frac{\bm{r}_{ij}}{r_{ij}}
\end{eqnarray}
%----------------
�Ɨ^������B���̃|�e���V�����́A���i\ref{eq:interaction-potential-3}
�j���
%---------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:graviation-potential}
U_{ij}(\bm{r}_{ij})&=&-\int_{\bm{r}_{0ij}}^{\bm{r}_{ij}}
\left[-G\frac{m_{i}m_{j}}{(r'_{ij})^2}\right]d{r}'_{ij}\nonumber\\
&=& -G\frac{m_{i}m_{j}}{r_{ij}}
\end{eqnarray}
%-----------------
�ƕ\�����B���ʂƏd�͒萔�͐����������̂ŁA�d�̓|�e���V�����̒l�͈�ʂɕ��l�����B
%-------------
\item �N�[�����E�|�e���V����\\
 �d��$q_{i},q_{j}$������$i,j$�Ԗڂ̗��q�Ԃ̃N�[�����͂͒P�ʌn�ɂ���܂�萔$k$��p����
%------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:coulomb-force}
\bm{F}_{ij}&=&k\frac{q_{i}q_{j}}{(r_{ij})^2}\frac{\bm{r}_{ij}}{r_{ij}}
\end{eqnarray}
%----------------
�Ɨ^������B���̃|�e���V�����́A���i\ref{eq:interaction-potential-3}
�j���
%---------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:coulomb-potential}
U_{ij}(\bm{r}_{ij})&=&-\int_{\bm{r}_{0ij}}^{\bm{r}_{ij}}
\left[ k\frac{q_{i}q_{j}}{(r'_{ij})^2}\right]d{r}'_{ij}\nonumber\\
&=& k\frac{q_{i}q_{j}}{r_{ij}}
\end{eqnarray}
%-----------------
�ƕ\�����B�d�ׂ̐ς̕����ɂ��A�N�[�����|�e���V�����͐��܂��͕������������Ƃɒ��ӂ���B�萔$k$��SI(MKSA)�P�ʌn�̏ꍇ�A
$k=1/(4\pi \varepsilon_{o})$�Ɨ^�����A$\varepsilon_{0}$�͐^��̗U�d��
�ł���B
\end{enumerate}
%---------------------------------------------------------------
\subsection{�����q�n�ɂ�����͊w�I�G�l���M�[�̕ۑ�}
%-------------------------------------------------------------------
%\subsubsection{���́A�O�͂Ƃ��ۑ��͂̏ꍇ�̗͊w�I�G�l���M�[�̕ۑ�}
%-------------------------------------------------------------------
�܂��A���͂��ۑ��͂̐��������Ƃ���B����$t$�ɂ�����e���q�̈ʒu�x�N�g��
$\bm{r}_{i}(t)\ (i=1,2,\cdots,n)$���^����ꂽ�Ƃ��A
���i\ref{eq:total-potential-internal-force}�j
�ŗ^��������͂̑S�|�e���V����
%---------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-particle-system-internal-potential}
U^{\rm (in)}(t)\equiv \sum_{1=i<j}^{n}U_{ij}(\bm{r}_{ij}(t))
\end{eqnarray}
%--------------
�����̑����q�n�̎���$t$�ɂ���������ʒu�G�l���M�[�Ƃ������B���͂̃|�e���V�����̒�`�i\ref{eq:potential-interaction}�j�Ǝ���$t_{1},t_{2}$�Ԃɓ��͂̂���
�d���̒�`�i\ref{eq:total-work-internal-force}�j���
%-------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-work-by-interaction}
W_{ij}(t_{2},t_{1})&=&U^{\rm (in)}(t_{2})-U^{\rm (in)}(t_{1})
\end{eqnarray}
%------------
��������B��������i\ref{eq:manypartile-work-energy}�j�ɑ�������
%-------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-work-kinetici-energy-theorem}
[K(t_{2})+U^{\rm (in)}(t_{2})]-[K(t_{1})+U^{\rm (in)}(t_{1})]
 &=&\sum_{i=1}^{n}W_{i}^{(e)}(t_{2},t_{1})
\end{eqnarray}
%------------
�ƂȂ�B���ꂪ
\underline{���͂��ۑ��͂̐��������ꍇ�́A�d���E�^���G�l���M�[�藝}�ł���B

����ɁA���͂ɉ����āA�O�͂��ۑ��͂ł���ꍇ�A����$t$�ɂ�����
�O��$\{ \bm{F}^{(e)}_{i},\ i=1,2,\cdots,n \}$�̃|�e���V������
$U_{i}^{(e)}(\bm{r}_{i}(t))$�A
%------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-particle-externalforce-potential}
\bm{F}^{(e)}_{i}&=&-{\rm grad}U^{(e)}_{i}(\bm{r}_{i}(t))
\end{eqnarray}
%---------------
�Ƃ���B
�S�O�͂ɂ��ʒu�G�l���M�[
%-------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-total-pot-ext-force}
U^{(e)}(t)&\equiv&\sum_{i=1}^{n}U^{(e)}_{i}(\bm{r}_{i}(t))
\end{eqnarray}
%------------	
�Ƃ���ƁA
%-------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-work-by-interaction}
\sum_{i=1}^{n}W_{i}^{(e)}(t_{2},t_{1})&=&U^{\rm (e)}(t_{2})-U^{\rm (e)}(t_{1})
\end{eqnarray}
%------------
�ƕ\����邩��A
���i\ref{eq:many-body-system-work-kinetici-energy-theorem}�j��
%-------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-dynamical-energy-conservation}
[K(t_{2})+U^{\rm (in)}(t_{2})+U^{(e)}(t_{2})]
&=&[K(t_{1})+U^{\rm (in)}(t_{1})+U^{(e)}(t_{1})]
\end{eqnarray}
%------------
�ƂȂ�B���̊֌W���͑����q�n�̑S�͊w�I�G�l���M�[��
%-----------
\begin{eqnarray}
E(t)&\equiv& K(t)+U^{(in)}(t)+U^{(e)}(t)
\end{eqnarray}
%------------
�Œ�`����Ƃ��A�X�̍�$K(t),U^{(in)}(t),U^{(e)}(t)$�͎����Ɉˑ����Ă��A���̘a$E$�͎��ԓI�Ɉ��A���Ȃ킿�ۑ�����邱�Ƃ��Ӗ�����B

\underline{���͂��O�͂��ۑ��͂ł���ꍇ�ɂ́A�����q�n�̑S�͊w�I�G�l���M�[�͕ۑ�����B}�@�����ŁA
%----------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-particle-system-total-pot-energy}
U \equiv U^{(in)}+U^{(e)}
\end{eqnarray}
%----------------
�𑽗��q�n�̑S�ʒu�G�l���M�[�Ƃ����B
���i\ref{eq:many-particle-externalforce-potential}�j��
���i\ref{eq:interaction-potential}�j���A
%----------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-particle-total-grad}
-{\rm grad}_{\bm{r}_{i}} U
&=&-{\rm grad}_{\bm{r}_{i}}
 \sum_{j=1}^{n} U_{j}^{(e)}(\bm{r}_{j})
 -\sum_{1=i<j}^{n}{\rm grad}_{\bm{r}_{i}} U_{j}^{(e)}(\bm{r}_{j})
  \nonumber\\
 &=&\bm{F}^{(e)}_{i}+\sum_{j(\ne i)}\bm{F}_{ij} 
\end{eqnarray}
%----------------
�ƂȂ邩��A�����q�n�ɂ�����C�ӂ̗��q�̉^����������	
%----------------------
\begin{eqnarray}
 m_{i}\frac{d^2 \bm{r}_{i}}{dt^2} &=&-{\rm grad}_{\bm{r}_{i}} U
 \ (i=1,2,\cdots,n)
\end{eqnarray}
%---------------
�ƕ\�����B
%-------------------------------------------------------------------
%\subsubsection{���́A
%�O�͂��ۑ��͂Ɣ�ۑ��͂���Ȃ�ꍇ�̗͊w�I�G�l���M�[�̎U��}
%-------------------------------------------------------------------
%�O�͂��ۑ���$\bm{F}_{i}$�Ɣ�ۑ��� $\bm{F}_{i}^{(nc)}$����Ȃ�A
%���͂��ۑ���$\bm{F}_{ij}$�Ɣ�ۑ��� $\bm{F}_{ij}^{(nc)}$����Ȃ��Ă���ꍇ��%�́A�d���E�G�l���M�[�藝���
%
%---------------
%\begin{eqnaray}
% [K(t_{2})+U_{(in)}(t_{2})+U^{(e)}(t_{2})]
%- [K(t_{1})+U_{(in)}(t_{1})+U^{(e)}(t_{1})]
%&=&\int
%\end{eqnarray}
%---------------------------------------------------------------
\subsection{�����q�n�̑S�G�l���M�[�̏d�S����ё��Ή^���ւ̕���}
%-------------------------------------------------------------------
\subsubsection{�S�^���G�l���M�[�̏d�S����ё��Ή^���ւ̕���}
%---------------------------------------------------------------
�����q�n�̑S�^���G�l���M�[$K$��,��(\ref{eq:sum-mass-relative-velocity})
��p�����
%--------------------------
\begin{eqnarray}
K &\equiv&\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2} m_{i}v_{i}^{2}
 =\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2} m_{i}\bm{v}_{i}^{2}
=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2} m_{i}|\bm{v}'_{i}+\bm{V}|^{2}�@\\
&=&\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2} m_{i}({v}'_{i})^{2}
+(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\bm{v}'_{i})\cdot\bm{V}
+\frac{1}{2} (\sum_{i=1}^{n}m_{i})V^{2}\\
\rightarrow
K&=& K_{G}+K^{\rm{(in)}},\\
 K_{G}&\equiv&\frac{1}{2}MV^{2},\
 K^{\rm{(in)}} \equiv \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2} m_{i}({v}'_{i})^{2}
\end{eqnarray}
%-------------------------
�Ə�����B���̎��͑����q�n�̉^���G�l���M�[$K$���A�d�SG�ɑS����$M$���W�������ƍl�����Ƃ��̏d�S�̉^���G�l���M�[$K_{G}$��,
�d�S���Î~���Ă���݂Ȃ����W�n�i���d�S���W�n�j�ł̊e���q�̉^���G�l���M�[�̘a,���Ȃ킿�A���Ή^���G�l���M�[$K^{\rm{(in)}}$�Ƃ̘a�Ƃ��ĕ\����邱�Ƃ��Ӗ�����B%------------------------------------------------------
\subsubsection{�S�G�l���M�[�̏d�S����ё��Ή^���ւ̕���}
%--------------------------------------------------------
�ȏ�̌��ʂ��A�����q�n�̑S�G�l���M�[(�͊w�I�G�l���M�[�j��
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-total-dynamical-energy-1}
E &=& [K_{G}+U^{(e)}]+[K^{\rm{(in)}}+U^{\rm{(in)}}]
\end{eqnarray}
%---------------------
�ŗ^������B�����ŁA
$\bm{r}_{ij}=\bm{r}_{i}-\bm{r}_{j}=\bm{r}'_{i}-\bm{r}'_{j}$������A
���i\ref{eq:many-body-system-total-dynamical-energy-1}�j�̉E�ӂ̒����ʕ���
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-internal--energy}
E^{\rm{(in)}} &\equiv& K^{\rm{(in)}}+U^{\rm{(in)}}
\end{eqnarray}
%--------------------
�͊e���q�́A�d�S�ɑ΂��鑊�΍��W�Ƒ��Α��x�݂̂ŕ\����Ă��邱�Ƃ��킩��B�����ŁA$E^{\rm{(in)}}$��\underline{�����q�n�̓����G�l���M�[}�Ƃ����B

\vspace{5mm}
{\small �Q�l�F
�M�͊w�܂��͋C�̕��q�^���_�ɏd�v�ȕ����ʂƂ��Ă̓����G�l���M�[�͂����Œ�`���������G�l���M�[�ɑΉ�����B
}

���ɁA�Ǘ��n�ł͊O�͂͂Ȃ�($\bm{F}^{(e)}=0$)�A���̃|�e���V����$U^{(e)}=0$�Ƃ�����B�܂�,���̏ꍇ�̏d�S�^����
���i\ref{eq:eq-of-motion-n-body-system-5}�j
���A$M(d^{2}\bm{R}/dt^{2})=0$�ŗ^�����邩��A�ꗱ�q�̏ꍇ�Ɠ��l�ɂ��āA�d�S�̉^���G�l���M�[�͈��A
%---------------
%-----------------%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-CM-kinetic-energy-conservation}
K_{G} ={\rm ���}
\end{eqnarray}
%--------------------
�ł���B�͊w�I�G�l���M�[�ۑ����Ƃ��킹��ƁA
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-internal-energy-conservation}
E^{\rm{(in)}} &\equiv& K^{\rm{(in)}}+U^{\rm{(in)}}={\rm ���}
\end{eqnarray}
%--------------------
�Ƃ������ʂ𓾂�B���Ȃ킿�A\underline{�Ǘ��n�ł́A�����q�n�̓����G�l���M�[���ۑ�����}�B


\vspace{5mm}
{\small ���ӁF�d�S�^���ɂ��āA���i\ref{eq:eq-of-motion-n-body-system-5}�j�����藧���A��ʂɂ�
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-CM-energy-non-conservation}
K_{G}+U_{G}\ne{\rm ���} \ ({\rm ��ʂ̊O�͂̏ꍇ})
\end{eqnarray}
%--------------------
�ł���B�Ƃ����̂́A
%------------------
\begin{eqnarray}
\sum_{i}\bm{F}^{(e)}_{i}=-\sum_{i}{\rm grad}_{\bm{r}_{i}}U^{(e)}
\end{eqnarray}
%--------------------
�ł����āA��ʂɂ�
%------------------
\begin{eqnarray}
\sum_{i}\bm{F}^{(e)}_{i} \ne -{\rm grad}_{\bm{R}}U^{(e)}
\end{eqnarray}
%--------------------
�ł��邩��B�@�������A���̎������藧����ȁA�������d�v�ȏꍇ�A���Ȃ킿�A�O�͂��d�͂����̏ꍇ�ɂ�
%------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:many-body-system-CM-energy-non-conservation}
K_{G}+U_{G}={\rm ���} \ ({\rm �O�͂��d�͂̏ꍇ})
\end{eqnarray}
%--------------------
�ƂȂ�B
}
%------------------------------------------
\section{�����q�n�̉�]�^��}
\setcounter{equation}{0}
%---------------------------------------
\subsection{�����q�n�̊p�^���ʁA�g���N�Ɖ�]�^��}
%----------------
�R�ȏ��$n$���q����Ȃ鑽���q�n�̒���$i$�Ԗڂ̗��q�̎��ʂ�$m_{i}�A$�ʒu�x�N�g����$\bm{r}_{i}$�A���x�x�N�g����$\bm{v}_{i}(\equiv d\bm{r}_{i}/dt)$�Ƃ���ƁA
���̑����q�n�̑S�p�^����$\bm{L}$��
%------------------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:total-angular-momentum-n-body-system}
\bm{L} \equiv \sum_{i=1}^{n}\bm{r}_{i}\times (m_{i}\bm{v}_{i})
\end{eqnarray}
%------------------
�Ɨ^������B������,�L��$\times$�͓�̃x�N�g���̃x�N�g���ρi�O�ρj��\�����Ƃɒ��ӂ���B����A$i$�Ԗڂ̗��q�̉^�����x�z���������
�i\ref{eq:eq-of-motion-n-body-system-1}
�j�̗��ӂɁA���̗��q�̈ʒu�x�N�g��$\bm{r}_{i}$�Ƃ̃x�N�g���ς��Ƃ�A���ׂĂ̗��q�ɂ��Ęa���Ƃ�B
%-------------
%------------------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:eq-of-motion-n-body-system-position}
 \sum_{i=1}^{n}{\bm r}_{i}\times m_{i}\frac{d^{2}\bm{r}_{i}}{dt^{2}}
  =\sum_{i=1}^{n}{\bm r}_{i}\times\bm{F}^{(e)}_{i}
+\sum_{i=1}^{n}{\bm r}_{i}\times\sum_{j=1,j\ne i}^{n}\bm{F}_{ij} \ (i=1,2,\cdots,n)
\end{eqnarray}
%------------------
�ƂȂ�B��(\ref{eq:eq-of-motion-n-body-system-position})�̍��ӂ́A�x�N�g���ς̐���,$(d\bm{r}_{i}/dt)\times (d\bm{r}_{i}/dt)=0$��p�����
\begin{eqnarray}
 \frac{d}{dt}\left[
 \sum_{i=1}^{n}
 \left({\bm r}_{i}\times m_{i}\frac{d\bm{r}_{i}}{d}\right)\right]
=\frac{d}{dt}\left[ \sum_{i=1}^{n}\bm{r}_{i}\times (m_{i}\bm{v}_{i})\right]
  =\frac{d\bm{L}}{dt} 
\end{eqnarray}
%------------------
�ƂȂ�B����A��(\ref{eq:eq-of-motion-n-body-system-position})�̉E�ӑ�񍀂́A
��p����p�̖@���i\ref{eq:action-antiaction-law}�j��p�����
%----------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:uhen-2}
\sum_{i=1}^{n}{\bm r}_{i}\times\sum_{j=1,j\ne i}^{n}\bm{F}_{ij}
&=&\bm{r}_{1}\times (\bm{F}_{12}+\bm{F}_{13}+\cdots )+\bm{r}_{2}\times (\bm{F}_{21}+\bm{F}_{23}+\cdots )\nonumber\\
&&+\bm{r}_{3}\times (\bm{F}_{31}+\bm{F}_{32}+\cdots )+\cdots 
\nonumber\\
&=&[\bm{r}_{1}\times \bm{F}_{12}+\bm{r}_{2}\times \bm{F}_{21}]
  +[\bm{r}_{1}\times \bm{F}_{13}+\bm{r}_{3}\times \bm{F}_{31}]+\cdots 
   \nonumber\\
&=&(\bm{r}_{1}-\bm{r}_{2})\times \bm{F}_{12}
  +(\bm{r}_{1}-\bm{r}_{3})\times \bm{F}_{13}+\cdots
\end{eqnarray}
%---------------
�Ə�����B�ʏ킻���ł���悤�ɁA����$\bm{F}_{ij}$���Q���q$i,j$�����Ԓ����ɉ����ē����΁A���Ȃ킿�A$\bm{F}_{ij}//(\bm{r}_{i}-\bm{r}_{j})$�Ȃ�΁A�Ō�̎��̉E�ӂ̂��ׂĂ̍��͂��ꂼ��[���ɂȂ�B���Ȃ킿�A���͂̌��ʂ͑��݂ɑł����������B���������āA
%------------------------------------
\begin{eqnarray}
\label{eq:eq-total-angmom-torque}
\frac{d\bm{L}}{dt}&=&\bm{N}^{(e)},\\
&& \bm{N}^{(e)}\equiv \sum_{i=1}^{n}\bm{r}_{i}\times \bm{F}^{(e)}_{i}
\end{eqnarray}
%------------------
������ꂽ�B���������āA

\underline{�����q�n�̑S�p�^���ʂ̎��ԕω����͊O�͂ɂ��g���N�i�͂̃��[�����g�j�ɓ������B}

���ɁA�O�͂ɂ��g���N�i�͂̃��[�����g�j�̐����̈�ł��[���ł���΁A�S�p�^���ʂ̑Ή����鐬���͎��ԓI�ɕۑ������B�����\underline{�p�^���ʂ̕ۑ���}�Ƃ����B
�������A�O�͂ɂ��g���N�i�͂̃��[�����g�j�x�N�g�����[���ł���΁A�S�p�^���ʃx�N�g�����ۑ������B���̏ꍇ�A�����q�n�̊p�^���ʂɐ����Ŏ��ԓI�ɕω����Ȃ����̕��ʂ����݂��邱�ƂɂȂ�B


%---------------------------------------------------------
\subsection{�����q�n�̌��]�Ǝ��]�̕�����}
%---------------------------------------------------------
�����ŁA�����q�n�̏d�S�Ƒ��΍��W�𓱓����邱�Ƃɂ��A�S�p�^���ʂ��ǂ̂悤�ɕ\����邩�𒲂ׂ�B���i\ref{eq:relative-coordinate}�j��
�i\ref{eq:relative-velocity}�j��
�S�p�^���ʁi\ref{eq:total-angular-momentum-n-body-system}�j�ɑ�����āA
���i\ref{eq:sum-mass-relative-coord}�j��
�i\ref{eq:sum-mass-relative-velocity})��p�����
%----------------------
\begin{eqnarray}
\bm{L}&=&\sum_{i=1}^{n}(\bm{R}+\bm{r}'_{i})
                \times m_{i}(\bm{V}+\bm{v}'_{i})
  \nonumber\\
  &=& \bm{R}\times (M \bm{V})+\bm{R}\times (\sum_{i=1}^{n}m_{i}\bm{v}'_{i})
    +(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\bm{r}'_{i})\times \bm{V}
   +\sum_{i=1}^{n} \bm{r}'_{i}\times m_{i}\bm{v}'_{i}
\nonumber\\
  &=& \bm{R}\times (M \bm{V})
   +\sum_{i=1}^{n} \bm{r}'_{i}\times m_{i}\bm{v}'_{i}
\nonumber\\
\label{eq:cm-relative-angmom}
\rightarrow
\bm{L}&=& \bm{L}_{G}+\bm{L}'
\end{eqnarray}
%-----------------------
�̂悤�ɁA�S�p�^���ʂ��ӂ��̕����ɕ��������B�����ŁA
\underline{$\bm{L}_{G}$�͏d�S�Ɏ���$M$���W����}\\
\underline{���Ƃ���
�����_�i���_�j�̂܂��̏d�S�̊p�^����}�ł���A
\underline{$\bm{L}'$�͏d�S���Î~���Ă���}\\
\underline{�Ƃ݂Ȃ����W�n�i���d�S���W�n�j�ł̊e���q�̊p�^���ʂ̘a},
�ł���A
%----------------
\begin{eqnarray}
\bm{L}_{G} &\equiv& \bm{R}\times (M \bm{V}),\\
     \bm{L}'&\equiv & \sum_{i=1}^{n} \bm{r}'_{i}\times m_{i}\bm{v}'_{i}
\end{eqnarray}
%-----------------
�ƒ�`�����B���l�ɁA�g���N�ɂ��Ă�
%----------------------
\begin{eqnarray}
\bm{N}^{(e)}&=&  \sum_{i=1}^{n}(\bm{R}+\bm{r}'_{i})\times \bm{F}^{(e)}_{i}\\
\label{eq:total-torque-cm-rela}
\rightarrow
  \bm{N}^{(e)}&=&\bm{N}^{(e)}_{G}+\bm{N}^{(e)'},\\
&&\bm{N}^{(e)}_{G} \equiv \bm{R \times}\bm{F}^{(e)} ,\
    \bm{N}^{(e)'} \equiv \sum_{i=1}^{n}\bm{r}'_{i}\times \bm{F}^{(e)}_{i}
\end{eqnarray}
%-----------------------
��������B�����ŁA$\bm{N}^{(e)}_{G}$�͊O�̘͂a����d�S�ɂ�����g���N�ł���A
$\bm{N}^{(e)'} $�͏d�S���Î~���Ă����
�݂Ȃ����W�n�i���d�S���W�n�j�ł̊e���q�ɍ�p����g���N�̘a�ł���B

���ɁA�d�S�Ɋւ���p�^���ʂ̎��ԕω������l�����
%----------------------
\begin{eqnarray}
\frac{d\bm{L}_{G}}{dt}&=&\frac{d}{dt}[\bm{R}\times(M\bm{V})]
=\frac{d\bm{R}}{dt}\times(M\bm{V})+\bm{R} \times M\frac{d\bm{V}}{dt}
=\bm{R} \times M\frac{d\bm{V}}{dt}\nonumber\\
\rightarrow
\label{eq:eq-revolution}
\frac{d\bm{L}_{G}}{dt}&=&\bm{N}^{(e)}_{G}
\end{eqnarray}
%-------------------
��������B���̎���
\underline{�����_(���_�j�̂܂��̏d�S�̉�]�^��
�i�����]�j���x�z����}\\
\underline{������}�ł���B�����ŁA$d\bm{R}/dt=\bm{V},\bm{V}\times \bm{V}=0$�ł��邱�Ƃ�p�����B

����ɁA��(\ref{eq:eq-revolution})�����i\ref{eq:eq-total-angmom-torque}�j�ɑ�����A�֌W�i\ref{eq:cm-relative-angmom}�j��
�i\ref{eq:total-torque-cm-rela}�j��p����Ƃ����
%---
\begin{eqnarray}
\label{eq:eq-rotation}
   \frac{d\bm{L}'}{dt}&=&\bm{N}^{(e)'}
\end{eqnarray}
%-----------------------
��������B���̎���
\underline{�d�S�̂܂��̉�]�^���i�����]�j���x�z���������}�ł���B
���i\ref{eq:eq-rotation}�j��
\underline{�����q�n�̏d�S�����G�ȉ^�������Ă����Ƃ��Ă��A�d�S�̂܂��̊p�^���ʂ̎�}\\
\underline{�ԓI�ȕω����͏d�S�̂܂��̃g���N�̘a�ɓ���������}���Ӗ�����B

\vspace{5mm}
%-------------------
{\small �i�Q�l:��]�Ƃ������{��ɑΉ�����p���rotation�ł���B���]��revolution�ł���B���]��rotation�ł���B�������A�p���revolution�ɂ͊v���Ƃ����Ӗ�������B����́A17���I�A�R�y���j�N�X�̒n����(���z���S���j���F�߂��ĈȌ�A�����A�V���w�̗p��ł�����revolution�i���]�j���傫�ȎЉ�I�ȕω����Ӗ�����悤�ɂ��Ȃ������Ƃɂ��B�Î~���Ă��ĉF���̒��S�Ƃ݂Ȃ���Ă�����n(�n���j�����z�̎�����^�������Ă��邱�ƁA���Ȃ킿�F���̒��S�ł͂Ȃ��Ȃ������Ƃ́A�����̐l�X�ɂƂ��Ă̏Ռ��̑傫�����z�������B�j
}
%-------------------
\vspace{5mm}
%--------------


�����ŁA���łɏq�ׂ��^���ʕۑ����Ɗp�^���ʕۑ����Ƃ͎��̂悤�ȈႢ�����邱�Ƃɒ��ӂ���B
%----------------
\begin{enumerate}
\item �O�͂̍��͂��[���̏ꍇ�ɂ́A�^���ʕۑ����ɂ��A�����q�n�̏d�S�͈�l�ȉ^���i�����x�^���j�𑱂���B�����āA���q�̑��ΓI�Ȉʒu���ω����Ă��A�d�S�̉^���ɂ͕ω��𐶂��Ȃ��B
\item �p�^���ʕۑ����̏ꍇ�A�S�p�^���ʂ͈��ł��A���q�̑��ΓI�Ȉʒu��ω������邱�Ƃɂ���āA�d�S�̂܂��̉�]�^��(���]�j��ω������邱�Ƃ��ł���B


�Ⴆ�΁A���ʂ̖����ł���_�Ō��т���ꂽ����$m$�̂Q���q�n�̉�]���l����B�O�͓͂����Ȃ��������ŁA�Q���q�̋�����$2r_{1}$����$2r_{2}$�ɒZ�k���ꂽ�Ƃ���B
($r_{1}>r_{2}$)�B���ꂼ��̏ꍇ�̎��]�̊p���x��$\omega_{1},\omega_{2}$�Ƃ���ƁA����2���q�n�̊p�^���ʂ̑傫���͂��ꂼ��A$L_{1}=2mr_{1}^{2}\omega_{1},
L_{2}=2mr_{2}^{2}\omega_{2}$�ƂȂ�B�������A�p�^���ʂ͕ۑ������($L_{1}=L_{2}$)
�̂ŁA$\omega_{1}<\omega_{2}$�ƂȂ�A���]�̊p���x����������B

���̂悤��
���q�Ԃ̑��ΓI�ʒu��ω�������ɂ͓��́i���ݍ�p�j���K�v�ł���B
�l�Ԃ�L�Ȃǂ̓����ɂ́A����ɊY������ꍇ�������B��є�э��݂̍ۂ̐l�̂⒈�Ԃ肷��L�ȂǁB���̈Ӗ��ŁA�l�̂⓮���́i���͂ɂ��j�ό`�����鑽���q�n�Ƃ݂Ȃ����Ƃ��ł���B
\end{enumerate}
%------------------

%-----------------------------------------------
\end{document}
%--------------------------------------------------
