非ユークリッド幾何学と一般相対性理論
1915年にアインシュタインは、重力の理論として、一般相対性理論を発表した。宇宙空間の構造を解くための理論である。特殊相対性理論によって、時間と空間は人間が想定した概念ではなく、具体的な物理の対象になった。一般相対論を理解するためには、非ユークリッド幾何学（＝リーマン幾何学）という数学を知る必要があるが、ひとことで言えば、曲がった空間における幾何学のことである。ここで、「曲がった」ということを、正確に記述することは、なかなか難しい。ギリシャ時代のユークリッドが定式化した「公理」の中で、一つだけ「トリビアル」（当たり前）ではなかった。
ユークリッド幾何学公理のひとつ：平面において、直線以外の一点を通り、その直線に平行な直線は１つしかない。
非ユークリッド幾何学の場合、この公理は成り立たない。それでは、ユークリッド幾何学が誤りであるかといえば、そうではない。それは、平面や直線の概念も一般化して理解されなくてはならないからだ。
線分の長さをLとすると、ピタゴラスの定理から、ｘｙｚの３次元空間において、
（１）
と表すことができて、ここで
はそれぞれ直交座標で測られた線分の端から端への変位
（２）
である。これは、直線の長さで、一般に曲線の長さは、
（３）
で計算できる。そのアイデアは、あらゆる曲線は、無限小の直線線分の和という考えである。基本は、微分にあって、線素
は、（３）式から、
（４）
と書けるが、より一般的に表現すれば、
（５）
と書くことが出きる。ここで、
をメトリックまたは計量テンソルとよぶ。但し、
、
、及び
と読みなおした。（４）式と比較すれば明らかに、
（６）
であり、それ以外の添字μ、νのメトリックの値は、０である。
（７）
ここで、非ユークリッド幾何学では、これら（６）（７）式は、成り立たない幾何学ということができる。即ち、逆に（６）と（７）式は、「まっすぐな空間」ユークリッド幾何学を特徴づけている式と言える。
我々の住んでいるこの宇宙空間は、曲がっているのか？
曲がっているのか、曲がっていないのかを知ることは、上で議論してきたように、計量テンソルが（６）（７）式を満たしているのか、満たしていないのかを知ることと同じである。従って、計量テンソル
を決定する方程式を作る必要がある。実は、その方程式が、アインシュタインの一般相対論における、重力方程式(アインシュタイン方程式)になる。
（８）
ここで、
はメトリック、
はエネルギー運動量テンソル、
はリッチテンソル、
はリッチスカラー、
は、宇宙定数とそれぞれ呼ばれている。
アインシュタイン方程式にエネルギー運動量テンソルと宇宙定数を代入し、（８）を解けば、計量テンソル
を求める事ができる。次に、求まった計量テンソルから、空間がどのように曲がっているのかを探ってみよう。
計量テンソルから、どのようにして空間が曲がっているのかを知る。
空間が曲がっていることをイメージすることは、我々が住んでいる3次元空間で想像するのは、難しい。曲がった2次元空間を想像してみよう。すなわち、曲がった面、曲面を想い浮かべればよい。大きく分けて、曲がり方には2種類ある。ひとつは球面のように曲がる場合と乗馬のサドル（双曲面）のような曲がり方である。2次元の世界を（ｘ、ｙ）とし、3次元空間（ｘ、ｙ、ｚ）からそれを眺める事にしよう。
１）
球面の場合 （曲率が正の場合）
球の方程式は、その半径をRとすれば、
（９）
と書ける。（ｘ、ｙ、ｚ）を極座標
で表すと、良く知られているように、
（１０）
で表される。これらを（９）式に代入すると、
（１１）
を得る。これは、極座標で表した球の方程式である。一方、この球面上の計量を計算してみよう。（１０）は、（１１）によって、
（１２）
と書けるから、球面での変数は、
と
の２つになる。偏微分を用いて、ｄｘ、ｄｙ、ｄｚを計算すると、
（１３）
これを（４）式に代入すれば、距離ｄLは、
（１４）
となる。ここで、球面上の座標をz軸からの距離として、
と選べば、（但、（１０）式で導入した極座標のｒとは異なる。）（１４）式は、
を使って、
（１５）
を得る。Rを曲率半径、また
を、曲率という。
２）
双曲面の場合 （曲率が負の場合）
双曲面の方程式は、パラメーターR（定数）を使って、
（１６）
で与えられる。（ｘ、ｙ、ｚ）を双曲線座標
を使って、表すと、
（１７）
となる。
は、双曲線関数で、次式を満たす。
（１８）
（１７）式は、これらを用いると、（１１）式と同じく、
（１９）
を得る。双曲面内の線素は、（４）式ではなく、
の前の符号が負になる。
（２０）
と書けて、
を座標に選ぶと、
（２１）
を得る。ここで、
となり、曲率は負になる。
３）3次元空間の場合
以上を2次元を3次元、3次元を4次元と拡張すれば、曲がった3次元空間を考える事ができる。すなわち、4次元球を考えると、
（２２）
を満たす式から始めればよいし、4次元双曲面の場合は、
（２３）
となる。それぞれの場合について、考察する。
a) 4次元球の場合
（２４）
と置けるから、
（２５）
と書ける。但し、
の座標で表す。
ｂ）４次元双曲面の場合
（２６）
と置けて、
（２７）
と書け、但し、
の座標で表す。（２５）式と（２７）式を比較して分るように、曲率
は、4次元球について正を選び、4次元双曲面については、負になる事が分る。
ロバートソン・ウォーカー時空
特殊相対性理論は、時間と空間は相対的なものだと教えている。上述してきた長さLの線素も不変ではない。時空間において不変な長さに対応する量「固有時」の考えが導入された。固有時ｓは、次のように定義される。時空間の２点
において、
（２８）
と表せて、微分量
は、
（２９）
と与えられる。ｃは光速。これらは特殊相対性理論の下で不変量である。時空のメトリック
が定義され、
とした場合（肩の数字は、累乗ではなく添字）、それは、
（３０）
となり、添字が異なる場合は、
＝０である。一般相対論になると、計量テンソル＝メトリックはこれからずれてしまう。空間の歪みと、時空が、スケール因子
によって、膨張する様に固有時を拡張すれば、（２９）式は、
（３１）
となり、（１５）式を用いれば、
（３２）
と一般化できる。これをロバートソン・ウォーカー時空とよぶ。