Definition
「素数は無限個ある」と言う命題の有名な証明(Euclid『原論』)で出てくる数。
つまり、素数の積、2×3×5×…×p+1による素数
プリモリアル素数(+1)とも言われる
『原論』には次の様にある。
素数の個数はいかなる定められた素数の個数よりも多い。
証明. 定められた個数の素数を A,B,Γとせよ。
A,B,Γより多い個数の素数があると主張する。
A,B,Γに割り切られる最小数が取られたとし、それをΔE (=ABC) とし、
ΔE に単位 ΔZ (=1)が加えられたとせよ。
そうすれば EZ (=ABΓ+1) は素数であるかないかである。
先ず素数であるとせよ。
そうすれば A,B,Γ より多い素数 A,B,Γ,EZ(=ABΓ+1) が見出された。
次に EZ(=ABΓ+1) が素数ではないとせよ。
そうすればそれはなんらかの素数に割り切られる。
素数 H に割り切られるとせよ。
H は A,B,Γ のいずれとも同じではないと主張する。
若し可能ならば、同じであるとせよ。
ところが A,B,Γ は ΔE(=ABΓ) を割り切る。
従って H も ΔE を割り切るであろう。これは不合理である。
故に H は A,B,Γ の一つと同じではない。
そして素数であると仮定されている。
従って定められた個数の A,B,Γ より多い個数の素数 A,B,Γ,H が見出された。
これが証明すべき事であった。- 『ユークリッド原論』第9章命題20。
| 素因数分解 | |
| 2 | 3 (素数) |
| 3 | 7 (素数) |
| 5 | 31 (素数) |
| 7 | 211 (素数) |
| 11 | 2311 (素数) |
| 13 | 30031 = 59×509 |
| 17 | 510511 = 19×97×277 |
| 19 | 9699691 = 347×27953 |
| 23 | 223092871 = 317×703763 |
| 29 | 6469693231 = 331×571×34231 |
| 31 | 200560490131 (素数) |
| 37 | 7420738134811 = 181×60611×676421 |
| 41 | 304250263527211 = 61×450451×11072701 |
| 43 | 13082761331670031 = 167×78339888213593 |
| 47 | 614889782588491411 = 953×46727×13808181181 |
10000以下のEuclid数(5個)
| 3 | 7 | 31 | 211 | 2311 |